MAKALAH DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN GEOMERIK
MAKALAH
DISTRIBUSI
BINOMIAL NEGATIF DAN GEOMERIK
Makalah ini
dibuat untuk memenuhi tugas Biostatistik
KATA PENGANTAR
Puji syukur
kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat
menyelesaikan makalah Biostatiska tentang Distribusi Binomial Negatif dan
Geometrik. Makalah ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Biostatiska.
Kami berterima kasih kepada Pak Burhanudin Arif Nurnugroho selaku dosen mata
kuliah Biostatiska yang telah memberikan tugas ini kepada kami.
Kami sangat
berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta
pengetahuan kami mengenai Distribusi Binomial
Negatif dan Geometrik. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini
terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap
adanya kritik, saran, dan usulan demi perbaikan yang telah kami buat di masa
yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang
membangun.
Semoga makalah
sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah
yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang
membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata
yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun demi
perbaikan di masa depan.
Yogyakarta, 25
April 2016
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata Pengantar............................................................................................................................. ii
Daftar Isi...................................................................................................................................... iii
BAB I
PENDAHULUAN........................................................................................................... 1
BAB II
PEMBAHASAN............................................................................................................ 3
A.
Distribusi Binomial Negatif............................................................................................ 3
a.
Definisi................................................................................................................
3
b.
Sifat.....................................................................................................................
3
c.
Rumus penurunan................................................................................................
3
d.
Contoh.................................................................................................................
3
B.
Distribusi Geometrik....................................................................................................... 7
a.
Definisi................................................................................................................
7
b.
Sifat.....................................................................................................................
7
c.
Rumus penurunan................................................................................................
7
d.
Contoh.................................................................................................................
8
BAB III
PENUTUP.................................................................................................................... 12
Kesimpulan.................................................................................................................................. 12
Daftar Pustaka.................................................................................................... 13
BAB I
PENDAHULUAN
Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang
ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli.Oleh karena itu
distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli.
Distribusi binomial negative berasal dari percobaan binomial yaitu suatu
proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu
distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial).
Penurunan klasik dari distribusi Binomial negative yang sering digunakan adalah
distribusi Binomial negatif sebagai barisan percobaan Bernoulli, yaitu jumlah
percobaan Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi k buah sukses, dengan setiap
pengulangan yang saling bebas, dimana probabilitas percobaan Bernoulli harus
memenuhi syarat:Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses”
atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka
probabilitas gagal q = 1 – p.
Eksperimen berhasil/gagal juga disebut
percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi
bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji
signifikansi statistik. Distribusi binomial adalah suatu peluang untuk peubah
acak diskrit dengan 2 kejadian saling komplemen yaitu sukses atau gagal.
Kegunaan distribusi binomial diterapkan untuk mengetahui peluang kecacatan.
Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang
dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan
JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa
kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap
pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial.
Distribusi geometrik merupakan bentuk khusus
dari binomial negatif dengan n kali percobaan dan berakhir ketika pertama kali
ditemukan sukses. Distribusi geometrik membahas tentang suatu peristiwa atau
kejadian yang sukses atau gagalnya suatu percobaan dan percobaannya tanpa
adanya suatu. pemulihan atau pengembalian. Distribusi geometrik berhubungan
dengan distribusi binomial, perbedaanya terletak pada metode percobaanya, pada
percobaan geometrik tidak adanya pengembalian atau pemulihan terhadap peluang
yang terjadi. Kegunaan distribusi geometrik yaitu dengan mengetahui kelayakan
dari suatu produk.
Beberapa contoh kasus atau suatu kejadian
dalam kehidupan sehari-hari yang menerapkan konsep distribusi geometrik antara
lain:
1.
Kejadian lulus dari ujian kenaikan tingkat.
Jika kita belum berhasil mencapai kelulusan, maka kita akan terus mengikuti
ujian berkali-kali. Tetapi sekali saja kita dinyatakan lulus, selesai sudah
prosesnya.
2.
Kejadian berburu juga merupakan kejadian yang
digambarkan oleh distribusi geometrik. Peluru dari senjata pemburu akan terus
dihamburkan hingga akhirnya buruannya berhasil ditembak. Jika sudah berhasil
ditembak, maka tidak ada lagi peluru
yang dihamburkan.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial negatif didefinisikan sebagai berikut: “Bila
usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan
peluang 
sedangkan gagal dengan peluang 
, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu
banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh 
”
Fungsi Padat Peluang
Notasi:
p= peluang
sukses
x=jumlah
percobaan sampai mendapa tkan sukses ke-k
k=jumlah
sukses yang muncul
Nilai
mean dan variansi dari distribusi Binomial Negatif dapat dinyatakan sebagai
berikut 
dan 
Kriteria:
a. Eksperimen
terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas
b. Setiap
percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin,
sukses atau gagal.
c. Probabilitas
sukses p dan, demikian pula, probabilitas gagl q=1-p selalu konstan dalam
setiap percobaan.
d. Eksperiman
terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total r sukses
diperoleh, dimana r berupa bilangan bulat tertentu.
Contoh Soal :
1.
Carilah peluang bahwa seseorang yang
melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya
belakang untuk kedua kalinya pada lantunan kelima.
Jawab :
Dengan menggunakan distribusi binomial negatif
untuk 
, 
, dan 
diperoleh
2.
Pada suatu daerah gondok endemis, probabilitas
seseorang terkena struma adalah 12%. Bila dilakukan pemeriksaan terhadap 48
orang penduduk yang diambil secara acak, berapa probabilitas orang ke-5 yang
diperiksa merupakan orang ke-3 yang menderita struma?
Jawab :
Diketahui 
, maka
, dan 
. X menyatakan
banyaknya penduduk yang diperiksa yang diperkirakan menderita struma.
3.
Peluang pembelian suatu televisi berwarna
disuatu toko televisi adalah 0,3.
Hitunglah peluang bahwa pembelian televise yang kesepuluh di toko tersebut akan
merupakan pembelian televise berwarna yang kelima.
Jawab :
Diketahui k=5
X=10
p=0,3
q=1-p=0,7
4.
Misalkan peluangnya 0,8 bahwa setiap orang
akan percaya tentang desasdesus mengenai hubungan gelap seorang bintang
terkenal. Berapakah peluangnya bahwa:
a.
Orang keenam yang mendangar desas-desus ini
merupakan orang keempat yang mempercayainya ?
b.
Orang ketiga yang mendengar desar-desus ini
merupakan orang pertama yang mempercayainya ?
Solusi :
p=0,8
q=0,2
misal X adalah orang ke-x yang
mempercayai desas-desus.
a.
Gunakan binomial negatif N= 6 ; n=4
P(X = 4) = (0,8)4 (0,2)2
= (10)(0,4096) (0,04) = 0,16384
b.
Gunakan geomterik N=3
P(X = 1) = (0,8) (0,2)2 = 0,032
5.
Jika 20% dari baut-baut yang diproduksi oleh
suatu mesin rusak, tentukan peluang bahwa dari 4 baut yang dipilih secara acak
terdapat
a. 1
b. 0
c. kurang dari 2
yang rusak
Solusi :
a.
P(X = 1) = b(1; 4, 0.2) = (4C1)(0,2)1
(0,8)3 = 0,4096
b.
P(X = 0) = b(0; 4, 0.2) = (4C0)(0,2)1
(0,8)3 = 0,4096
c.
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.4096 +
0.4096 = 0.8192
6.
Kita mempunyai populasi serangga,
tepat 40 % diantaranya terinfeksi virus X. Jika kita mengambil contoh dengan
k=5 serangga dan meneliti tiap serangga secara terpisah-pisah apakah terserang
virus atau tidak. Distribusi contoh macam manakah yang dapat diharapkan apabila
peluang setiap serangga pada contoh untuk terinfeksi tidak gayut dengan
serangga yang lain ? Dianggap bahwa populasi sangat besar sehingga pertanyaan
apakah pengambilan contoh dilakukan dengan pemulihan atau tanpa pemulihan
menjadi tidak ada artinya.
Solusi :
p = 0,4
q = 0,6
(p+q)k=(0,4+0,6)5p5+5p4q+10p3q2+10p2q3+5pq4+q5
=(0,4)5+5(0,4)4(0,6)+10(0,4)3(0,6)2+10(0,4)2(0,6)3+5(0,4)(0,6)4+(0,6)5
=(0,4)5+5(0,4)4(0,6)+10(0,4)3(0,6)3+5(0,4)(0,6)4+(0,6)5(0,6)2+10(0,4)2
Kejadian 5 serangga
terinfeksi virus X adalah (0,4)5 = 0,01024
7. Suatu obat diketahui manjur 60% untuk mengobati suatu
penyakit tertentu. Penggunaan obat tersebut dikatakan sukses bila menyembuhkan
si penderita sampai pada taraf tertentu. Kita ingin mengetahui peluang
penderita kelima yang sembuh merupakan orang yang ketujuh yang menerima
obat-obatan tersebut selama minggu tertentu.
Solusi :
Nyatakan sukses dangan S dan
gagal dengan G.
SGSSSGS merupakan salah satu kemungkinan urutan untuk
mencapai hasil tersebut, dengan peluang: (0.6)(0.4)(0.6)(0.6)(0.6)(0.4)(0.6) =
(0.6)4 (0.4)2
Semua urutan yang mungkin dapat ditulis dari G dan S
asalkan yang terakhir haruslah merupakan sukses kelima. Jumlah semua urutan
mengandung 2 gagal dan 4 sukses adalah cara. Peluang X menyatakan hasil yang
membuahkan sukses kelima adalah
8.
Sebuah dadu yang adil dilempar sampai mata 6
(enam) keluar 2 kali. Tentukan peluang bahwa 5 kali lemparan dibutuhkan untuk
mendapatkan 2 kali angka 6.
Solusi :
p = 1/6
q = 5/6
x = 5
r = 2
(4C1) (1/6)2(5/6)2 = 500/7776
= 0,0643
9.
Dalam suatu proses produksi,
diketahui bilangan rata-rata 1 diantara 100 butir hasil produksi, cacat. Berapa
peluang memeriksa 5 butir dan baru menemukan yang cacat pada pemeriksaan ke 5 ?
Solusi :
P (5; 0,01 ) =
(0.01)(0.09)4
= 0.0096
10.
Pada suatu daerah gondok endemis, probabilitas
seseorang terkena struma adalah 12%. Bila dilakukan pemeriksaan terhadap 48
orang penduduk yang diambil secara acak, berapa probabilitas orang ke-5 yang
diperiksa merupakan orang ke-3 yang menderita struma?
Solusi :
Diket :
p = 12% = 0,12 (Peluang menderita struma)
q = 88% = 0,88 (peluang tidak menderita
struma)
k = 3
X menyatakan banyaknya penduduk yang diperiksa yang diperkirakan
menderita struma
Jadi,
probabilitas orang ke-5 yaang diperiksa merupakan orang ke-3 yang menderita
struma adalah 0,83 x 10-3 atau sekitar 0,803%
B.
Distribusi Geometrik
Distribusi geometrik didefinisikan sebagai berikut: “Bila usaha
yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan
peluang , gagal dengan peluang , maka distribusi peluang peubah acak 
, yaitu
banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh 
, dimana 
, dan 
adalah parameter (probabilitas sukses dan
gagal).
Peubah acak Y
disebut berdistribusi geometrik jika dan hanya jika
Contoh :
Buktikan
Distribusi geometrik merupakan suatu PDF!
Jawab:
Akan
ditunjukkan bahwa distribusi geometrik memenuhi kedua syarat PDF
1.
Dari definisi di atas diketahui 
untuk 
Dan 
maka dapat dikatakan 
positif.
2.
Jumlah deret tak hingga suatu deret geometrik
dengan a meruapakan suku pertama dan r merupakan beda antara suku
adalah :
………….. 2)
Dengan menggunakan deret geometrik (persamaan
2) diperoleh 
dan 
sehingga 
Pembuktian
kedua syarat diatas menunjukkan bahwa distribusi geometrik memang suatu pdf.
Teorema :
Mean dan
variansi peubah acak distribusi geometrik adalah, 
dan 
Bukti :
Menurut rumus ekspektasi 
untuk distribusi yang bertipe diskrit maka
Karena 
merupakan deret geometrik maka :
(terbukti)
Distribusi geometrik merupakan bentuk khusus dari binomial negatif
dengan n kali percobaan dan berakhir ketika pertama kali ditemukan sukses.
Perubahan acak yang berdistribusi geometrik disebut juga Peubah
Acak Geometrik.
Penulisan acak yang berditribusi geometri adalah 
artinya bahwa peubah acak berdistribusi geometrik dengan banyak
pengulangan eksperimennya sampai 
kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses
sebesar . Sebuah
eksperimen dikatakan distribusi geometri jika eksperimen itu memenuhi
sifat-sifat sebagai berikut:
a.
Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa yaitu
sukses dan gagal
b.
Eksperimennya diulang beberapa kali sampai
peristiwa sukses terjadi pertama kali
c.
Peluang terjadinta peristiwa sukses dan gagal
pada setiap pengulangan bersifat tetap
d.
Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas
Contoh soal :
1.
Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa
rata-rata diantara 100 butir hasil produksi 1 yang cacat. Berapakah peluang
bahwa setelah 5 butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama?
Jawab:
Gunakan distribusi geometrik dengan dan 
, maka diperoleh
2.
Pada waktu sibuk suatu sentral telepon hampir
mencapai batas daya sambungnya, sehingga orang lain tidak mendapat sambungan.
Ingin diketahui banyaknya usaha yang diperlukan agar mendapat sambungan.
Misalkan 
peluang mendapat sambungan selama waktu sibuk.
Kita ingin mencari peluang bahwa diperlukan 5 usaha agar sambungan berhasil.
Jawab :
Dengan menggunakan distribusi geometrik dengan
dan 
diperoleh
3. Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 30%
pelamar yang sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan
program. Para pelamar diinterview secara intensive dan diseleksi secara random.
Pertanyaan :
a. Apabila terdapat 10 pelamar yang dikumpulkan, simulasikan
berapa kali pelamar yang dapat diterima. RNG, a=43,m=1237 dan X0 =
12357.
b. Hitunglah prosentase yang diterima dari jumlah pelamar
yang ada.
c. Berapa probabilitas pertama kali pelamar diterima pada 5
interview yang dilakukan?
d. Berapakah rata-rata pelamar yang membutuhkan
interview guna mendapatkan satu calon yang punya advance training
Penyelesaian :
Soal pemilihan lamaran sarjana komputer.
Diket : 30% pelamar sudah punya keahlian komputer tingkat
advance.
Berarti p=0,3 dari distribusi geometri.
Langkah-langkah simulasi adalah sebagai berikut :
·
Menghitung RN dari computer
sebanyak 10 kali dengan konstanta a=43, m=1237 dan X0=12357
Dan
hasilnya :
|
No |
Ri |
No |
Ri |
|
1 |
0.5481 |
6 |
0.2611 |
|
2 |
0.5683 |
7 |
0.2280 |
|
3 |
0.4373 |
8 |
0.8044 |
|
4 |
0.8050 |
9 |
0.5877 |
|
5 |
0.6572 |
10 |
0.2711 |
Log (1-0,3)=log(0.7)= - 0,1549
·
Menghitung
Xi sbb:
|
No |
Xi |
No |
Ri |
|
1 |
Int(1,6856)+1=3 |
6 |
Int(3,7650)+1=5 |
|
2 |
Int(1,5842)+1=3 |
7 |
Int(4,1453)+1=5 |
|
3 |
Int(2,3189)+1=3 |
8 |
Int(0,6100)+1=2 |
|
4 |
Int(0,6081)+1=2 |
9 |
Int(1,4899)+1=3 |
|
5 |
Int(1,1769)+1=3 |
10 |
Int(3,6591)+1=5 |
Jawaban:
a. 3 sarjana komputer yang diterima dari sejumlah 10 calon
b. Prosentase yang diterima = 3/10*100%= 30%
c. f(x)= p. qx-1 , x=1,2,3,...,10
f(5)=(0,3)(0,7)4=0.072
d.
E(x)=1/p=1/0,3=3,333
4.
Pada jam-jam sibuk, sangat sulit mendapat
sambungan telepon hanya dengan satu kali usaha men-dial. Misalkan untuk
mendapat sambungan pada jam sibuk peluangnya adalah 5%. Berapa peluang
diperlukan 5 usaha agar sambungan berhasil?
Solusi:
x = 5 dan p = 0.05, diperoleh
P (X = 5) = g(5; 0.05) = (0.05)(0.95)4 = 0.041
5.
Seorang pemabuk pulang ke rumah. Dia memiliki
5 buah kunci pada gelang kunci yang selalu dibawanya. Dia memilih secara acak
satu kunci dan mencoba membuka pintu dengan kunci itu sampai ditemukan kunci
yang tepat. Misalkan dia terlalu mabuk sehingga sehingga mungkin saja memilih
kunci yang berulang untuk dicoba. Berapa peluang dia sukses menemukan kunci
yang tepat pada usaha ke-7?
Solusi:
x = 7, p = 1/5 dan q = 1 – 1/5 = 4/5
P(X = 7) = g(7; 1/5) = (1/5)(4/5)6
= 0.0524288
6.
Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa
rata-rata di antara 100 butir hasil produksi 1 yang cacat. Berapakah peluang
bahwa setelah 5 butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama ?
Solusi :
Gunakan distribusi geometrik dengan x = 5 dan
p = 0,01, maka diperoleh
g(5 ; 0,01) =
(0,01)(0,99)4
=
0,0096
7.
Dalam suatu
proses produksi tertentu diketahui bahwa secara rata-rata, 1 dalam setiap 100
barang adalah cacat. Berapakah peluang bahwa barang kelima yang diperiksa
merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?
Solusi :
Ditanyakan peluang barang kelima yang diperiksa, maka x = 5 dan
peluang mendapat cacat adalah 0.01.
8.
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola
Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang a). terambil 2
bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak
dengan pemulihan? b). terambil 2 bola Merah, dari 4 kali
pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?
Solusi :
Soal
a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
p = 2/5 =
0.40
n =
4
x = 2
b (2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel
atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang
Hipergeometrik
N =
5
n = 4
k = 2
x = 2
N-k =
3 n-x=2
h(2
; 5 ; 4,2) = 
9.
Dari
pengiriman sebanyak 1.000 riem kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa
rata-rata tiap riemnya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar
10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per riemtersebut dapat didekati dengan
kurva normal, berapa persen dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar
atau lebih ?
Dalam soal diatas, Ux = 450 dan Ox = 10 sedangkan yang
kita ingin ketahui ialah p(X ≥ 455). Pengubah variabel normal 455
kedalam variabel standar memperoleh
Karena f(0,50) = 0,6915, maka p(Z ≥ 0,50) = 1 –
0,6915 = 0,3085 atau 30,85 persen. Jelas bahwa 30,85 persen dari riem kertas
diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih.
10.
Bila X
merupakan variabel random yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata Ux =
24 dan deviasi standar Ox = 12, berapakah probabilitas 17,4< X <
58,8 ?
Pengubahan variabel normal 17,4 dan 58,8 masing-masing kedalam
variabel standar memperoleh
Jika probabilitas diatas dihitung dengan bantuan table
distribusi normal kumulatif, maka diperoleh hasil
p(17,4 ) < X <
58,8 ) = p(-0,55 < Z < 2,90)
= F(2,90) – F(-0,55)
= 0,9981 – 0,2912
= 0,7069
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Distribusi binomial negatif mewakili sebuah percobaan secara acak, dimana
percobaannya terdiri atas dua peristiwa yaitu sukses atau gagal, percobaan
diulang beberapa kali sampai banyaknya
usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh
Distribusi geometrik mewakili sebuah percobaan
secara acak, dimana percobaannya terdiri atas dua peristiwa yaitu sukses atau
gagal, percobaan diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama
kali, diberikan oleh , dimana , dan adalah parameter (probabilitas sukses dan
gagal). peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan
bersifat tetap serta pengulangan eksperimen bersifat bebas.
DAFTAR PUSTAKA
Ridha, Rasyid.2011.Latihan dan
Pembahasan Soal Distribusi Peluang Diskrit.Jakarta: STIS
Walpole, Ronald E.1995.Ilmu
Peluang dan Statiska untuk Insyinyur dan Ilmuwan.Bandung: ITB
Komentar
Posting Komentar